<!--dontsearch--> <HTML><HEAD><TITLE>ICMI Study 16</TITLE> <BODY bgColor=#ffffff> <H1><IMG SRC = "icmis16logo.jpg" ALT="[ICMIS16 LOGO]"></H1> <UL> <LI><a href="icmis16.html">HOME</a></li> </UL> <h2>Estudio ICMI 16</h2> <h2>Matemticas retadoras dentro y fuera del aula</h2> <h3>Documento de discusin</h3> <P>De vez en cuando <a href ="http://elib.zib.de/IMU/ICMI/">ICMI</a> (Comisin Internacional de Instruccin Matemtica) organiza estudios para investigar, a profundidad y en detalle, campos particulares de inters en educacin matemtica. El presente escrito constituye el Documento de Discusin para el prximo estudio, ICMI Study 16, <i>Matemticas retadoras dentro y fuera del aula</i>.</p> <ol> <li><h4>Introduccin</h4> <P>La matemtica es atractiva, til y creativa. Qu podemos hacer para que sea ms accesible para un mayor nmero de personas?</p> <P>Acciones recientes que tienen la intencin de desarrollar la creatividad matemtica de los estudiantes incluyen el uso de investigaciones, de problemas, de diarios o memorias de pensamientos y reflexiones, y de un gran nmero de otros recursos.</P> <P>Las iniciativas que se han adelantado alrededor del mundo han variado en cuanto a su calidad y han encontrado diferentes grados de xito. Nuevas tecnologas nos han permitido refinar nuestros esfuerzos y redefinir nuestras metas. Es el momento de evaluar lo que se ha hecho, estudiar las condiciones de xito y determinar algunas orientaciones hacia el futuro.</P> <P>De acuerdo con estas perspectivas, ICMI se ha embarcado en su Dcimosexto Estudio, para examinar la matemtica retadora dentro y fuera del aula de clase, y como parte de ello est preparando una Conferencia que se llevar a cabo en Trondheim, Norway del 27 de junio al 3 de julio de 2006 en la cual un grupo invitado de matemticos y educadores en matemticas, de todo el mundo, analizarn en detalle este asunto y producirn un informe.</P> <P>El presente documento sugerir puntos especficos para ser investigados e invitar a los que podran contribuir a la discusin a presentar un escrito a consideracin del Comit Internacional de Programa para que ste seleccione a quienes asistirn a la conferencia.</p> <P>Finalmente, con base en las contribuciones a la Conferencia, se editar un libro (el Tomo del Estudio). Este libro reflejar el estado del arte de las matemticas retadoras dentro y fuera del aula y sugerir direcciones para proseguir el desarrollo en investigacin y en prctica.</P> <P>Los autores del presente Documento de Discusin son los miembros del Comit Internacional de Programa (IPC) para este Estudio ICMI. El comit est conformado por 13 personas de diferentes pases, cuyos nombres estn en la lista que se encuentra al final del documento. La estructura de este documento de discusin es la siguiente. En la seccin 2 definimos y explicitamos los trminos bsicos utilizados en el Estudio. En la seccin 3 examinamos el contexto actual, elaboramos una lista de ejemplos de la prctica actual, observamos cambios sucedidos en aos recientes e identificamos problemas. En la seccin 4 proponemos varias preguntas crticas cuyo anlisis conducir a los resultados del Estudio. En la seccin 5 solicitamos contribuciones y esbozamos el proceso que llevar a cabo el Estudio.</P> </li><hr> <LI><H4>Descripcin</h4> <P><B>(a) Retos</b></P> <P>Qu es un reto matemtico? Aun cuando ste podra ser un tema de discusin a desarrollar en el marco de la Conferencia del Estudio, ofrecemos unos planteamientos preliminares para proporcionar bases al debate.</p> <P>Una respuesta es que un reto tiene lugar cuando una persona enfrenta un problema cuya resolucin no est a la vista y para el cual no parece haber ningn mtodo estndar de solucin. Por lo anterior, la persona debe adelantar alguna reflexin y anlisis de la situacin, posiblemente trayendo a cuenta diversos factores. Quienes enfrentan un reto deben tomar la iniciativa y responder a eventualidades imprevistas con flexibilidad e imaginacin.</P> <P>Ntese que la palabra `reto denota una relacin entre una pregunta o una situacin y un individuo o un grupo. Hallar las dimensiones de un rectngulo de permetro dado con mayor rea no es un reto para alguien familiarizado con los algoritmos del clculo, o con ciertas desigualdades. Pero s es un reto para un estudiante que encuentra esta situacin por primera vez. Hay que calibrar el reto para que la audiencia quede perpleja pero tenga los recursos para llevarlo a feliz trmino. El anlisis de una situacin no necesariamente es difcil, pero debe ser tanto interesante como atractivo.</P> <P>Se tiene alguna evidencia que el proceso de lograr dar estructura a una situacin retadora puede llevar a que se desarrollen mtodos nuevos y ms poderosos de solucin. Uno puede tener xito al medirse a un reto, o no tenerlo, pero el mismo proceso de enfrentar sus dificultades puede resultar en un entendimiento ms amplio. La presentacin de retos matemticos puede proporcionar la oportunidad de experimentar el descubrimiento independiente, por medio del cual uno puede adquirir nuevo entendimiento profundo y un sentido de poder personal. Entonces, el ensear por medio del uso de retos puede incrementar el nivel del entendimiento y de la atraccin que siente el estudiante por las matemticas.</p> <P>Notamos que hay varios trminos que a veces se utilizan para describir cosas semejantes, pero que tienen en efecto significados muy distintos. Estos trminos incluyen las expresiones `reto , `solucin de problemas y `enriquecimiento . Arriba hemos elaborado acerca de lo que entendemos por el trmino `reto . La expresin `solucin de problemas aparentemente hace referencia a metodologa, pero la solucin de problema se asocia frecuentemente con una situacin retadora. `Enriquecimiento sera el proceso de extender la experiencia matemtica ms all del currculo. Esto puede suceder o no en el contexto de un reto.</P> <P><B>(b) Cmo proporcionamos retos?</B></P> <P>La matemtica puede retar a los estudiantes tanto dentro como fuera del aula de clase. El aprendizaje tiene lugar en muchos contextos. Los llamados crculos matemticos, clubes, competencias, exhibiciones, materiales recreativos, o simples conversaciones con pares, pueden ofrecer oportunidades para que los estudiantes estn expuestos a retos, tanto en el aula como ms all de ella.</p> <P>En estas iniciativas, el papel del profesor es central. Es el profesor quien enfrenta la tarea difcil de mantener vivas en el aula de clase la espontaneidad y creatividad que los estudiantes puedan mostrar fuera de ella.</p> <P>Notamos que muchos profesores no seleccionan los problemas a tratar en una leccin por su propia cuenta, sino simplemente siguen lo que se da en un texto. En este contexto el papel de buenos textos y libros con selecciones de problemas es muy importante. Para proveer un reto no slo se debe incluir problemas retadores, sino tambin, algo que con frecuencia ayuda ms, se debe construir pequeos conjuntos de problemas que conducen a un estudiante a partir de unos hechos y ejemplos muy sencillos hacia otros ms profundos y retadores. Por medio de una cuidadosa seleccin de problemas y organizacin de la estructura de textos, los autores pueden ayudar mucho a los profesores a proporcionar retos a sus estudiantes. Puede suceder que un estudiante con un buen libro puede desarrollar un inters en la matemtica sin ayuda del profesor.</p> <P>Igualmente central es el apoyo del pblico en general. Dado que los nios son producto de su ambiente social en conjunto, necesitan el apoyo de los adultos en su medio para adquirir una comprensin y apreciacin de la matemtica. Y, al apoyar a la nueva generacin, el compromiso de los ciudadanos con la matemtica abrir nuevas oportunidades para su propio crecimiento personal y el bien pblico.</p> <P>Para nosotros es importante retar a estudiantes de todo nivel de motivacin, antecedentes y habilidad. Estudiantes que tengan una alta motivacin necesitan retos para que no dejen de dirigir sus mentes activas hacia las matemticas y abandonarlas por otras reas que encuentran ms atractivas. Los retos matemticos pueden servir para atraer a estudiantes que llegan a la escuela con un menor nivel de motivacin; tales estudiantes pueden aprender a partir de material retador ms de lo que pueden aprender del dominio de algoritmos o mtodos rutinarios.</p> <P>Es particularmente importante, aunque difcil, proporcionar retos para estudiantes que deben luchar para aprender matemticas. Es demasiado fcil que estudiantes con dificultades para aprender, se contenten con lograr competencia en o dominio de la matemtica algortmica, y que no intenten pensar acerca de la matemtica de una manera ms profunda. Sin embargo, algunos maestros practicantes han encontrado que aun el aprendizaje de materiales rutinarios puede mejorarse cuando sucede en un ambiente retador.</p> <P>Son particularmente valiosas las situaciones que pueden usarse para retar a todo estudiante, sin tener en cuenta sus antecedentes o su nivel motivacional.</p> <P>El proceso de proporcionar a los estudiantes situaciones retadoras en s presenta un reto para educadores. Algunos de estos retos son matemticos. El profesor o maestro debe poseer un conocimiento amplio y profundo de la matemtica que ensea, para poder apoyar a los estudiantes que estn trabajando con materiales no estndar. Otros retos para el profesor son pedaggicos. Al ensanchar los tipos de experiencia que los estudiantes pueden tener, el profesor debe adems incrementar su conocimiento de cmo el estudiante aprende as como afinar su habilidad de interpretar lo que el estudiante expresa. Es responsabilidad de la comunidad de matemticos y de educadores de matemticas apoyar al profesor en estos aspectos de su crecimiento.</p> <P><B>(c) Dnde se encuentran los retos?</b></p> <UL> <LI>Las situaciones retadoras proporcionan una oportunidad para hacer matemticas, y para pensar matemticamente. Algunas son similares a las actividades del matemtico profesional. Estas incluyen: <P>Solucin de problemas no rutinarios <BR>Creacin y planteamiento de problemas <BR>Trabajo con solucin de problemas sin lograr solucin completa <BR>Investigaciones llevadas a cabo individualmente <BR>Investigaciones llevadas a cabo colaborativamente en equipos <BR>Proyectos <BR>Investigaciones histricas <BR>Discusiones a nivel de toda las clase organizadas en bsqueda de la solucin de un problema, un rompecabezas o un sofisma</p></li> <LI>Otros retos se parecen menos a la matemtica formal. Estos son atractivos de una manera distinta, llevando hacia la matemtica desde otros contextos. Algunos de stos son: <P>Juegos <BR>Rompecabezas <BR>Construccin de modelos <br>Trabajo con manipulativos<P></li> <LI>Hay aun otros retos que establecen nexos entre la matemtica y otros campos del saber. Algunos ejemplos son: <P>Matemticas y otras ciencias <BR>Matemticas y las humanidades <BR>Matemticas y las artes <BR>Problemas tomados del mundo real<P></li> <LI>Se pueden encontrar retos en una variedad de lugares y medios, incluyendo: <P>Aulas de clase <BR>Competencias <BR>Clubes, crculos o casas matemticos <BR>Estudio independiente <BR>Conferencias expositorias <BR>Libros <BR>Artculos y trabajos <BR>Revistas <BR>Sitios web <BR>Centros de ciencia <BR>Exhibiciones <BR>Festivales, tales como das matemticos <BR>Campamentos matemticos<P></li> </ul> </li><hr> <li><h4>Contexto actual</h4> <p><B>(a)Prcticas y ejemplos</b></p> <P>Hay muchas formas que actualmente se estn empleando para retar a estudiantes. Estos retos tienen lugar tanto dentro como fuera de la escuela e incluyen tanto a estudiantes como a miembros del pblico general. Adicionalmente pueden ser clasificados en diferentes categoras tales como competencias, solucin de problemas, exhibiciones, publicaciones, y otra categora que puede llamarse, de manera aproximada, `asambleas matemticas . Ms adelante haremos referencia a algunos casos particulares en los cuales se organizan retos. Para ilustrar esto hemos utilizado algunos ejemplos que conocemos los miembros del Comit Internacional de Programa.</p> <P><B>COMPETENCIAS</b></p> <P><B>Competencias inclusivas y exclusivas</b></p> <P>Hay muchas competencias bien conocidas como <a href = "olympiads.win.tue.nl/imo/"><i>la Olimpiada Internacional de Matemticas</i></a> (IMO) y <a href = "www.mathkang.org/"><i>el Canguro de Matemticas</i></a>. La primera involucra un nmero pequeo de estudiantes de muchos pases (ejemplo de una competencia exclusiva), mientras que la segunda involucra a miles de estudiantes en Francia y el resto de Europa (un ejemplo de una competencia inclusiva). Detalles de stas y muchas otras competencias pueden encontrarse en los sitios web de los mismos, o en la revista <a href = "wfnmcj.html"><i>Mathematics Competitions</i></a> publicada por la World Federation of National Mathematics Competitions.</p> <P>La palabra `competencia puede inicialmente producir una imagen de rivalidades entre estudiantes individuales con `ganadores y `perdedores . Mientras que esto puede ser cierto en algunas situaciones, no siempre es as. Aun en la IMO, donde tanto prestigio como medallas estn en juego, se da ms cooperacin que rivalidad fuera del aula de competencia. En toda competencia el estudiante trabaja `contra el problema mas que `contra el otro , y hay situaciones en las cuales la meta es ms `vencer el problema que `ganar . Existen competencias en las cuales los estudiantes deben proponer problemas para que los resuelvan otros estudiantes, en lugar de la situacin tradicional en la cual unos organizadores impongan los problemas. Ms adelante damos ejemplos de dos competencias que son diferentes en alguna medida de las competencias en las cuales los estudiantes esencialmente se someten a un examen.</p> <P><B>Una competencia exclusiva de tipo interactivo</B></P> <p>La competencia <i>Euromath</i> es una copa europea de matemticas. Cada equipo est integrado por 7 personas: estudiantes desde el nivel de la escuela primaria hasta la universidad, y un adulto. Se seleccionan, con base en su trabajo con juegos lgicos, los seis mejores equipos para que tomen parte en la competencia final. En la final, estos equipos trabajan delante de espectadores. Para ganar un equipo debe ser rpido y poseer buen conocimiento matemtico, pero el punto ms importante es `l esprit d quipe .</P> <P><B>Otro modelo de un a competencia inclusiva</B></P> <P><I>KappAbel</i> es una competencia nrdica para estudiantes de catorce aos en la cual participan clases enteras en grupo. Las primeras dos rondas constan de problemas que se distribuyen en el Internet y que son bajados por el profesor. Dentro de un lmite de tiempo de 90 minutos, la clase discute los problemas y decide como responder a cada uno. La tercera ronda est dividida en dos partes: un proyecto de aula sobre un tema dado (que termina con un informe, una presentacin y una exhibicin) y una sesin de solucin de problemas que se adelanta a manera de carrera de relevos en la que dos nios y dos nias representan a la clase. Tpicos temticos recientes han sido las matemticas y las tradiciones artesanales locales (2000), matemticas en juegos y recreacin (2001), matemticas y deportes (2002), matemticas y tecnologa (2003), y matemticas y msica (2004). Los tres mejores equipos se enfrentan al da siguiente en la ronda final, que es una sesin de solucin de problemas en la cual los equipos que no resultaron finalistas componen la audiencia.</P> <P><B>EL USO DEL RETO EN EL AULA DE CLASE</b></P> <P><B>Solucin de problemas</b></P> <P>La expresin `solucin de problemas se ha empleado para abarcar una variedad de experiencias, pero aqu empleamos estas palabras para significar el permitir a los estudiantes trabajar en problemas cerrados que no estn en capacidad de solucionar de manera inmediata. De all que los estudiantes necesitan aplicar su conocimiento de contenidos matemticos as como su ingenio, intuicin y un abanico de destrezas metacognitivas para poder llegar a una respuesta.</p> <P>La solucin de problemas se usa frecuentemente en el aula de clase como un ejercicio solitario que puede estar relacionado con el currculo principal en matemticas o no. Puede verse as como un relleno que muchos estudiantes pueden disfrutar pero que no es central a la actividad del aula de matemticas.</P> <P>Tanto las investigaciones como los proyectos pueden ser ejercicios extendidos de solucin de problemas en los cuales los estudiantes indagan acerca de problemas ms difciles durante un lapso mayor a una hora normal de clase. Frecuentemente stos involucran un informe escrito.</p> <P>Algunos maestros utilizan problemas para desarrollar las ideas, el conocimiento y la comprensin que deben adquirir los estudiantes frente al material curricular; se puede decir que ellos estn empleando un `enfoque de solucin de problemas . Este enfoque puede reflejar la naturaleza creativa de la matemtica y dar a estudiantes un sabor de la forma como la matemtica es desarrollada por matemticos investigadores. Ejemplos, tanto de lecciones en solucin de problemas como de lecciones que asumen un enfoque de solucin de problemas pueden encontrarse en el sitio web <a href = "www.nzmaths.co.nz">www.nzmaths.co.nz</a>.</p> <P><B>Retos en la educacin tradicional: un ejemplo</p></b> <P>Un mtodo tradicional en la escuela primaria japonesa es el resolver un problema por medio de una discusin adelantada por toda la clase. A manos de un maestro diestro, los nios pueden aprender ms de lo que el currculo pretende. Por ejemplo, supongamos que se les asigna el problema de dividir 4/5 por 2/3. Un estudiante podra observar que 6 es el mnimo comn mltiplo de 2 y 3, y escribir</P> <P>(4/5)/(2/3) = (4 x (6/2))/(5 x (6/3)) = (4 x 3)/(5 x 2) = 12/10.</P> <P>Los nios pueden llegar a comprender que este mtodo es equivalente al algoritmo estndar y que el mtodo puede emplearse con otras fracciones seleccionadas. Desde el punto de vista del maestro, la dinmica es impredecible, y as se requiere que el maestro tenga una comprensin matemtica profunda y destrezas confiables para poder manejar la situacin. Pero cuando este enfoque tiene xito, los nios realmente profundizan su experiencia matemtica.</p> <P><B>EXHIBICIONES</b></p> <P>Las exhibiciones, en el sentido de reunir materiales para que la gente los vea e interacte con ellos, estn volvindose cada vez ms comunes. Estas normalmente se dan fuera del aula y pueden estar diseadas tanto para el pblico en general como para estudiantes. Tambin pueden llevarse a cabo en una variedad de escenarios, desde la escuela hasta museos, centros comerciales o al aire libre. Mencionamos varios ejemplos.</p> <P>La idea de un centro de ciencia es la de presentar al pblico fenmenos cientficos para que sean manipulados. Esto significa que los visitantes experimentan un reto a partir de un experimento real y luego intentan comprenderlo. Algunos centros de ciencia cuentan con unos pocos experimentos matemticos, pero tambin hay centros de ciencia dedicados exclusivamente a la matemtica, por ejemplo <a href = "http://www.mathematikum.de">Mathematikum</a> en Alemania o <a href = "http://www.math.unifi.it/archimede/">Giardino di Archimede</a> en Italia. Estos centros permanentes, que son mejores si se visitan con gua, atraen a decenas y centenas de miles de personas cada ao.</p> <P>Tambin hay exhibiciones anuales, que varan en sus contenidos de un ao a otro. Un ejemplo de ellas que tambin atrae decenas de miles de visitantes es <a href = "http://www.cijm.org"><I>Le Salon de la Culture Mathmatiques et des Jeux</I></a> en Paris. Adicionalmente, tambin hay exhibiciones ocasionales, tales como la exhibicin <I>Experiencing Mathematics</I>, auspiciada por UNESCO e ICMI conjuntamente con otras organizaciones, y que fue presentada en el Congreso Europeo de Matemticas, 2004, y en el Dcimo Congreso Internacional de Educacin Matemtica (ICME-10).</P> <P>Una exhibicin puede tener un tema especial, como la que hay en la Universidad de Modena y Reggio Emilia que se concentra en <a href = "http://www.mmlab.unimo.it">las mquinas matemticas</a>. Estas mquinas son copias de instrumentos histricos que incluyen dispositivos para trazar curvas, instrumentos para dibujar con perspectiva e instrumentos para resolver problemas.</P> <P>Los instrumentos para museos, laboratorios o centros matemticos pueden ser muy costosos. Para uso en el aula de clase puede ser que haya kits a la venta con informacin acerca de su posible uso en el saln de clase.</P> <P><B>PUBLICACIONES, INCLUYENDO INTERNET</b></p> <P>Publicaciones, que incluyen como mnimo libros, revistas, sitios web, CDs, juegos y software, usualmente son accesibles a una audiencia amplia.</p> <p><B>Revistas escolares de matemtica</b></p> <P>Hay muchos ejemplos alrededor del mundo de revistas diseadas para estimular el inters de los estudiantes por la matemtica. Estas revistas contienen artculos histricos, artculos que exponen cuestiones de actualidad en investigacin, tales como el problema de los cuatro colores o el ltimo teorema de Fermat, y rincones de problemas, donde se proponen problemas nuevos, donde se tratan otros problemas recientes de Olimpiadas y donde los estudiantes pueden remitir sus propias soluciones. Ejemplos de tales revistas en el Bloque Oriental, donde las tradicionales son ms antiguas, son <I>Kmal</I> (Hungra) y <I>Kvant</I> (Rusia). En el Occidente ejemplos sobresalientes son <I>Crux Mathematicorum</I> (Canad), <I>Mathematics Magazine</i> y <I>Mathematical Spectrum</I> (United Kingdom).</P> <P><B>Libros</b></p> <P>Hay muchas publicaciones que enriquecen y retan el inters del estudiante en la matemtica. En ingls la Mathematical Association of America tiene un catlogo masivo y la Australian Mathematics Trust tiene un nmero significativo de publicaciones. En ruso hay tambin unos recursos muy ricos, tradicionalmente publicados por Mir. En el idioma francs <I>la Kangourou</I> y otras editoriales tienen un catlogo prodigioso, al igual que la Chiu Chang Mathematics Education Foundation en lengua china. Esta lista se refiere nicamente a idiomas principales. Suponemos que sera imposible pretender elaborar una lista de referencias individuales en el presente Estudio. Creemos que ser suficientemente difcil intentar identificar las editoriales principales.</p> <P><B>Internet</B></p> <P>Hay una cantidad de ejemplos en los cuales las personas pueden unirse a una aula de clase en Internet. El aula electrnica a cargo de Noriko Arai es una aula virtual a la que puede unirse cualquier persona interesada en matemticas simplemente registrndose para ello. El aula est a cargo de y supervisada por un nmero reducido de matemticos, llamados moderadores. Lo usual es que uno de ellos propone un problema tal como  caracterizar una fraccin que es un decimal finito . Luego comienzan las discusiones. Un estudiante podra dar una idea vaga para resolver el problema, o una respuesta parcial o plantear una pregunta, y otros estudiantes harn comentarios acerca de ella o mejorarn las ideas dadas por otros. Los moderadores animan las discusiones, dando sugerencias a manera de pistas cuando sea necesario. Usualmente las discusiones terminan con una respuesta completa. A veces un nuevo problema surge a raz de la discusin. Si no, otro problema ser propuesto por un moderador.</p> <P>N. Arai desarroll software para que solamente estudiantes pertenecientes al aula tuvieran acceso a las discusiones. En este ambiente un nio tmido o una persona mayor que no sea fuerte en matemticas, puede sentirse ms cmodo para unirse a las discusiones.</p> <P><B> Asambleas matemticas </b></p> <P>Estas actividades se dirigen a grupos de personas que por lo general se renen en un lugar para recibir clases de un experto o grupos de expertos. Estamos pensando aqu en grupos tales como clubes de matemticas, das matemticos, escuelas de verano, clases maestrales, campamentos matemticos, festivales matemticos, y as sucesivamente. A continuacin se dan cinco ejemplos especficos que se refieren a das matemticos, clases investigativas y clases industriales.</p> <P>Hay muchos ejemplos alrededor del mundo de das matemticos en los cuales se renen equipos de estudiantes de varios escuelas. En el transcurso del da participan en varios eventos individuales y por equipos en un ambiente agradable; adicionalmente puede haber unas clases expositorias.</p> <P><b>Clubes de matemticas</b></p> <P>El mundo provee muchos ejemplos de clubes de matemticas (o crculos matemticos como a veces se denominan) para estudiantes que se renen a intervalos regulares en su municipio o ciudad para resolver problemas nuevos. Con alguna frecuencia estos clubes utilizan una competencia realizada por correspondencia, como el <I>Torneo Internacional de Municipios</I> (<a href = "imtot.html">International Mathematics Tournament of Towns</a>) como un foco para sus actividades. Estos clubes por lo general son coordinados por acadmicos locales, estudiantes de doctorado o maestros que trabajan voluntariamente.</p> <P><B>Casas de matemticas</b></p> <P>En Irn, un equipo de maestros y profesores universitarios han establecido algo llamado <a href = "http://www.mathhouse.org">Casas de matemticas</a> ubicadas en todo el pas. Las Casas tienen el propsito de proporcionar oportunidades para que estudiantes y maestros de todos los niveles puedan experimentar el trabajo en equipo y comprometerse en la bsqueda de un entendimiento ms profundo de la matemtica por medio del uso de tecnologas informticas y estudios independientes. Competencias por equipos, competencias electrnicas, el uso de la matemtica en el mundo real, estudios de la historia de la matemtica, los nexos entre la matemtica y otras reas como arte y ciencias, conferencias generales expositorias, exhibiciones, talleres, campamentos de verano y festivales anuales son algunas de las actividades matemticas y no clsicas de estas Casas.</p> <P><B>Clases investigativas</b></p> <P>En Alemania durante varios aos el premio para los ganadores de una competencia de matemticas ha sido una invitacin de un <a href = "http://zfm.mathematik.tu-darmstadt.de"><i>Modellierungswoche</i></a>. En el, grupos de 8 estudiantes conjuntamente con dos profesores trabajan en un problema, concerniente a una aplicacin real, propuesto por la industria local. Muchos de stos son problemas de optimizacin. La solucin por lo general requiere modelamiento, anlisis matemtico y la elaboracin de un programa de computador.<P> <P>Tomando otro ejemplo, en <I>Maths en jeans</I> cada equipo trabaja en colaboracin con un investigador universitario quien ha propuesto un problema, preferiblemente relacionado con su investigacin, en el cual los estudiantes trabajan por un perodo largo de tiempo (a veces durante la totalidad del ao escolar).</p> <P><B>(b) Tendencias</B></P> <P>Parece que, con pocas excepciones, las tendencias macro son positivas. Por ejemplo, hay muchas competencias nuevas que estn diseadas para un rango ms amplio de estudiantes de los que se atienden en las competencias ms tradicionales estilo olimpiadas, e incluyen nios ms jvenes que tradicionalmente se ha hecho. Varias competencias ahora involucran grupos de estudiantes en lugar de estudiantes individuales.</P> <P>Tambien en aos recientes se ha incluido el tema de solucin de problemas dentro de los currculos en varios pases. Sin embargo, sin acciones de desarrollo profesional para profesores, puede ser que este tema todava no se encuentre en el currculo que en efecto se desarrolla en el aula.</p> <P>En esta misma lnea, parece que hay un nmero creciente de exhibiciones matemticas. Por lo general, en pocas anteriores, las exhibiciones matemticas se encontraban en los centros de ciencia, pero ahora hay un nmero mayor de exhibiciones dedicadas nicamente a las matemticas. Y, al contrario de realizarse en escenarios similares a los museos, hay exhibiciones matemticas que son porttiles o que se realizan en escenarios poco usuales como en los centros comerciales, en los metros o al aire libre.</p> <P>En cuanto a publicaciones, parece que recientemente ha habido un nmero creciente de libros y pelculas de naturaleza matemtica hechas para el pblico general. Algunas de stas, como <I>el Ultimo Teorema de Fermat</i> y <I>A Beautiful Mind</i>, han tenido gran xito. Por el lado de los libros, sin embargo, puede haber una tendencia que se aleja del tradicional libro de problemas y se acerca a libros que tratan temas matemticos y que pretenden ms bien ser ledos que trabajados. Estos libros pueden intentar comunicar algo acerca de matemticas profundas o complicadas, pero lo hacen por medio de la creacin de un ambiente en lugar de la exposicin en detalle.</p> <P>En aos recientes el Centro para educacin continuada en matemticas de Mosc ha publicado una serie de libros llamada La biblioteca de educacin matemtica. Estos son libros pequeos (de 20 a 30 pginas) escritos por matemticos profesionales y dirigidos a estudiantes de la escuela secundaria que tienen inters por la matemtica. Estos incluyen explicaciones populares de varias reas de matemticas, problemas retadores para estudiantes y temas de historia. El tamao reducido de los volmenes, las buenas ilustraciones y el estilo popular de su redaccion atraen un buen nmero de lectores.</p> <P>Parece ser el caso que tanto revistas como peridicos actualmente contienen ms matemticas, incluyendo tanto artculos e historias acerca de la matemtica contempornea como problemas y rompecabezas.</p> <P>Se puede encontrar matemticas en muchos sitios en Internet. Estos sitios cubren la gama desde el tratamiento de tpicos especficos hasta sitios de problemas, historia de la matemtica, desarrollo profesional de maestros, juegos (incluyendo sitios que reclaman poder leer la mente de las personas que los visitan), y salas de urgencias donde se puede solicitar asistencia matemtica inmediata. Hay ms, y ms variados, sitios que en conjunto ayudan a hacer que la matemtica sea ms acccesible, si no ms popular.</p> <P><B>(c) Dificultades identificadas</b></p> <P>Las dificultades que estos contextos producen se dividen en dos categoras: desarrollo y aplicaciones. En la primera categora para lograr su primer xito, la mayor parte de las iniciativas nuevas dependen de un grupo pequeo de personas. Esto las hace frgiles. Parece que con frecuencia es ms fcil conseguir fondos para comenzar nuevos proyectos de lo que es encontrar apoyo continuado para programas establecidos.</P> <P>Por aplicaciones queremos decir aplicaciones en las escuelas. No est claro que tanto de este nuevo material est siendo utilizado con xito por grandes nmeros de maestros en el aula de clase. Esto puede darse por una variedad de razones. En primer lugar, el maestro con frecuencia est acosado por restricciones de tiempo en la medida en que se incluya ms material, especialmente material que involucra nuevos temas por fuera de la matemtica, en el currculo escolar. Estos temas reducen el tiempo disponible para las matemticas. En segundo lugar, especialmente en los ltimos aos de la escuela secundaria, hay exmenes cuyos resultados tienen gran impacto, y que fuerzan al maestro a ensear para el examen en lugar de desarrollar ideas matemticas. Y en tercer lugar, le puede faltar confianza al maestro para tratar material nuevo que no form parte de su preparacin en el pregrado. Tambin puede ser que el maestro se sienta incmodo con la pedagoga ms abierta que se requiere para tratar situaciones retadoras que son por su naturaleza menos estructuradas de lo que se maneja en la pedagoa tradicional.</p> </li><hr> <li><h4>Preguntas qus surgen</h4> <P>Una de las metas de la Conferencia de este Estudio ser construir una buena imagen del estado del arte. A continuacin damos algunos ejemplos de preguntas y cuestiones que podran considerarse en el contexto del Estudio.</p> <P><B>Impacto de la enseanza y el aprendizaje en el aula de clase</B></P> <UL> <LI>Cmo contribuyen los retos al proceso de aprendizaje?</li> <LI>Cmo se pueden utilizar los retos en el aula de clase?</li> <LI>Cunto material retador es provisto en el currculo actual?</li> <LI>Cules oportunidades adicionales de proporcionar retos realzaran le enseanza y el aprendizaje en el aula de clase normal?</li> <LI>Cmo se puede dar a conocer al profesorado la existencia de diferentes tipos de retos?</li> <li>Cmo podemos asegurar que estos retos sean compatibles con los contenidos obligatorios del currculo?</li> <LI>Cmo se pueden manejar las restricciones de tiempo en el aula?</li> <LI>Cmo se pueden evaluar los retos?</li> <LI>Cmo se pueden evaluar a los estudiantes por intermedio de los retos?</li> <LI>Cmo se puede apoyar, por medio de un sistema de puntuacin, la efectividad del uso de materiales retadores?</li> <LI>Qu clases de reto son apropiadas para estudiantes remediales y estudiantes que estn luchando por mantenerse a flote?</li> <LI>Cules son las implicaciones de los retos que se encuentran dentro del aula para la formacin de futuros profesores?</li> <LI>Cules son las implicaciones de los retos que se encuentran fuera del aula para la formacin de futuros profesionales?</li> <LI>Cules son los requisitos que deben tener los estudiantes para manejar materiales retadores y cmo se pueden introducir en el aula estos requisitos? Esto abarca familiarizacin con notacin y convenciones matemticas, habilidad para razonar y llegar a conclusiones, habilidad para observar y clasificar, y destrezas comunicativas.</li> <LI>Cmo pueden influir en actividades y aprendizaje en el aula las `actividades de fuera del aula de tal modo que todos los estudiantes en el aula se sientan retados y motivados?</li> <LI>Cmo se puede convencer a profesores, padres de familia y estudiantes que este tipo de actividades y retos pueden fortalecer el aprendizaje y comprensin de conceptos y destrezas bsicos en matemticas?</li> <LI>Puede la experiencia de competencias, ferias de matemticas, etc. volverse parte de la formacin de futuros maestros y la educacin continuada de maestros en ejercicio? Y ser cierto que la inclusin de estas experiencias ayudar a comprometer al maestro con `actividades fuera del aula o a que el maestro implemente este tipo de actividades en su prctica en el aula?</li> <LI>Cmo se puede redactar textos para que tengan las actividades retadoras como filosofa o idea principal, y no solamente como parte fragmentaria del contenido del texto?</li> <LI>Cmo puede ser utilizada la tecnologa por parte de maestros y estudiantes para crear ambientes retadores?</li> </ul> <P><B>Actividades fuera del aula</b></p> <UL> <LI>Cul es el efecto en el visitante de una exhibicin, festival, etc. en la cual solamente se tiene un encuentro de corta duracin con los retos matemticos? Cmo se puede ayudar a los padres de familia, maestros, estudiantes y otros para que profundicen en matemticas ms all de estos encuentros cortos?</li> <LI>Cmo se puede hacer visible la matemtica detrs de aparatos tecnolgicos cotidianos, y cmo se puede colocar esta matemtica en un contexto que es accesible y matemticamente retador para diferentes grupos de personas?</li> </ul> <P><B>Investigacin</B></P> <UL> <LI>Qu investigacin se ha realizado para evaluar el papel que ha cumplido la matemtica retadora?</li> <LI>Qu puede decirnos la investigacin acerca de los usos de retos en cuanto a la enseanza y el aprendizaje de la matemtica?</li> <LI>Cules preguntas requieren mayor investigacin?</li> </ul> <P><B>Preguntas ms generales</B></p> <UL> <li>Cmo puede involucrarse la comunidad de matemticos y de educadores matemticos en esta clase de actividad retadora cuando ella est alejada de sus intereses propios en investigacin?</li> <LI>Hay algunas ramas de la matemtica que son ms apropiadas que otras para producir problemas y situaciones retadores?</li> <li>Cmo se puede, con variados diseos de actividades retadoras, en particular competencias, atraer diferentes grupos de personas (estudiantes muy capaces, diferentes gneros y culturas, diferentes niveles de logros, etc.)?</li> <LI>Qu se puede hacer para identificar, estimular y animar a los estudiantes con especial talento matemtico?</li> </ul> </li><hr> <LI><h4>Llamado para someter contribuciones</h4> <P>El trabajo de este Estudio tendr lugar en dos etapas. La primera consta de una Conferencia que tendr lugar en Trondheim, Norway, del 27 de junio al 3 de julio de 2006. Ser una conferencia de trabajo. Se espera de todo participante que juegue un papel activo. La participacin ser nicamente por invitacin, con base en una contribucin escrita. Entre los asistentes se planea lograr representar una diversidad en cuanto a su experticia, experiencia, nacionalidad y filosofa. Tal grupo de participantes debe provenir de una base amplia de la comunidad de matemticos y de educadores matemticos. Se espera que la conferencia atraiga no slo a personas que han trabajado en el campo durante muchos aos, sino tambin gente nueva con ideas interesantes y refrescantes o que estn realizando trabajo promisorio. Ha sido usual que las Conferencias de los Estudios ICMI tengan alrededor de 80 participantes.</p> <p>El IPC por este medio invita a individuos o grupos para que presenten contribuciones pertinentes a cuestiones, problemas o puntos especficos relacionados con el tema del Estudio para que sean considerados por el Comit. Quienes quieren participar deben preparar</p> <P>(a) una relacin, con extensin una pgina, de la posicin profesional que actualmente ocupan, de la informacin pertinente para poder contactarlos, as como de sus publicaciones pasadas y presentes, y sus actividades relacionadas con el tema del Estudio.</P> <P>(b) un escrito de 6 a 10 pginas de extensin que trata cuestiones planteadas en el presente documento u otras cuestiones relacionados con el tema del Estudio.</p> <P>Tambin sern bienvenidas propuestas concernientes a investigacin en progreso, o por realizarse. Los puntos o interrogantes alrededor de los cuales se adelanta la investigacin deben estar muy bien formulados y un esbozo de los resultados  actuales o esperados  debe presentarse, si es posible con referencia a estudios anteriores relacionados.</P> <P>Estos documentos deben remitirse a consideracin del IPC a ms tardar el 31 de agosto de 2005, dirigidos a ambos de los co-chairs del Estudio, o bien por correo normal, por fax o preferiblemente por correo electrnico. Todos los documentos recibidos alimentarn la planeacin de la Conferencia del Estudio y ayudarn al IPC en la tarea de cursar las respectivas invitaciones a ms tardar el 31 de enero de 2006. Todos los documentos remitidos deben presentarse en ingls, el idioma oficial de la Conferencia.</P> <P>Las contribuciones de los que reciban invitacin a participar en la Conferencia sern difundidas entre los dems participantes antes de la realizacin de la misma, como material de preparacin. Los participantes no deben albergar la expectativa de presentar sus trabajos oralmente en la Conferencia ya que el IPC puede determinar que sta se organice de modo distinto para facilitar la efectividad y la productividad del Estudio.</P> <P>Desafortunadamente el recibir una invitacin a tomar parte en la Conferencia no significa recibir un ofrecimiento de asistencia financiera por parte de los organizadores; para asistir los participantes deben financiar sus propios gastos. Se estn gestionando fondos para proporcionar apoyo financiero parcial que permitira la participacin en la Conferencia de personas provenientes de pases sin suficientes recursos, pero el nmero de tales apoyos ser limitado.</P> <P>La segunda parte del Estudio es la publicacin que aparecer en la Serie ICMI Studies. Este Tomo del Estudio se basar en una seleccin de las contribuciones, as como de los resultados de la Conferencia. El formato exacto que tendr el Tomo an no ha sido determinado pero se espera que ser editado en un libro coherente que igualmente se espera ser una referencia estndar en el campo durante varios aos.</P> <P><B>Comit Internacional de Programa</B></P> <P>Co-chair: Edward J. Barbeau </br>University of Toronto, CANADA</P> <p>Co-chair: Peter J. Taylor <br>University of Canberra, AUSTRALIA</p> <p>Chair, Local Organising Committee: Ingvill M. Stedy <br>Norwegian University of Science and Technology, Trondheim, NORWAY</p> <P>Mariolina Bartolini Bussi <BR>Universitw di Modena et Reggio Emilia, ITALY</P> <P>Albrecht Beutelspacher <BR>Mathematisches Institut, Gie\ss en, GERMANY</P> <P>Patricia Fauring <BR>Buenos Aires, ARGENTINA</P> <P>Derek Holton <BR>University of Otago, Dunedin, NEW ZEALAND</P> <P>Martine Janvier <BR>IREM, Le Mans, FRANCE</p> <P>Vladimir Protasov <BR>Moscow State University, RUSSIA</P> <P>Ali Rejali <BR>Isfahan University of Technology, IRAN</p> <P>Mark E. Saul <BR>Gateway Institute, City University of New York, USA</P> <P>Kenji Ueno <BR>Kyoto University, JAPAN</P> <P>Bernard R. Hodgson, Secretary-General of ICMI <BR>Universit Laval, Qubec, CANADA</P> <h3>Advisors from ICMI Executive Committee</h4> <P>Maria Falk de Losada <BR>University Antonio NariHo, Bogota, COLOMBIA</p> <P>Petar Kenderov <br>Academy of Sciences, Sofia, BULGARIA</p> <P><B>Consultas</B></P> <P>Consultas acerca de todos los aspectos del Estudio, sugerencias concernientes al contenido de la Conferencia del Estudio y remisin de contribuciones deben gestionarse por intermedio de los dos co-chairs.</P> <P>Prof. Edward J. Barbeau <BR>Department of Mathematics <BR>University of Toronto <BR>Toronto M5S 3G3 <BR>CANADA</p> <P>Tel: +1 416 653 1961 <BR>Fax: +1 416 978 4107 <BR>E-mail: <a href = "mailto:barbeau@math.toronto.edu">barbeau@math.toronto.edu</a></P> <P>Prof. Peter J. Taylor <BR>Australian Mathematics Trust <BR>University of Canberra ACT 2601 <BR>AUSTRALIA</p> <P>Tel: +61 2 6201 2440 <BR>Fax: +61 2 6201 5096 <BR>E-mail: <a href = "mailto:pjt@olympiad.org">pjt@olympiad.org</a></p> <P>El sitio web oficial del Estudio es <a href ="http://www.amt.edu.au/icmis16.html">http://www.amt.edu.au/icmis16.html</a></p> </li> </ol> </body> </HTML> <!--DONTSEARCH-->